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映射与函数
发布于: 2021-06-28 更新于: 2021-06-29 分类于: 数学 > 数学分析 阅读次数: 

上次碰微积分是在初三寒假?

基本快忘光了……

映射

微积分研究函数,而函数又是映射的一种,我们先来学映射。

概念与定义

相信大家都学过 std::map 吧,映射的英文就是 map。

简单来说,映射就像 std::map 一样,可以将一个元素对应到另一个元素,比如每个身份证号能对应到一个人名。

更严谨点说应该是将一个集合中的元素对应到另一个集合中的元素,而且原集合的元素必须唯一对应一个新集合的元素,但是反过来却不必。还拿身份证的例子举例,一个身份证号一定能对应到一个人名,而因为可以重名,一个人名却可以对应到好几个身份证号。

我们大概清楚了什么是映射,现在看看映射的具体定义:

设 $X$、$Y$ 是两个非空集合,如果存在一个法则 $f$,使得对 $X$ 中每个元素 $x$,按法则 $f$,在 $Y$ 中有唯一确定的元素 $y$ 与之对应,那么称 $f$ 为从 $X$ 到 $Y$ 的映射,记作

$$f: X \rightarrow Y$$,

其中 $y$ 称为元素 $x$(在映射 $f$ 下)的像,并记作 $f(x)$,即

$$y = f(x)$$,

而元素 $x$ 称为元素 $y$ (在映射 $f$ 下)的一个原像;集合 $X$ 称为映射 $f$ 的定义域,记作 $D_f$,即 $D_f = X$;$X$ 中的所有元素的像所组成的集合称为映射 $f$ 的值域,记作 $R_f$ 或 $f(X)$,即

$$R_f = f(X) = {f(x) | x \in X}$$.

再次强调 $x$ 要对应唯一的 $y$,而 $y$ 不一定对应唯一的 $x$。

满射、单射与双射

我们在定义中注意到 $R_f$ 是 $Y$ 的子集,当 $Y$ 中任意一个元素都是 $X$ 中某个元素的像,即 $R_f = Y$,我们称 $f$ 为从 $X$ 到 $Y$ 上的满射;

若 $\forall x_1, x_2 \in X$ 且 $x_1 \neq x_2$,有 $f(x_1) \neq f(x_2)$,则称 $f$ 为从 $X$ 到 $Y$ 上的单射;

若 $f$ 既是单射又是满射则称之为双射。

映射的不同名称

在不同的数学分支中映射又有不同的名称,如:

  • 从非空数集 $X$ 到数集 $Y$ 的映射叫泛函;
  • 从非空集 $X$ 到它自身的映射叫变换;
  • 从实数集 $X$ 到实数集 $Y$ 的映射叫函数。

逆映射

对一个 $f$,若 $f$ 是从 $X$ 到 $Y$ 的单射,那我们就可以定义一个新的映射 $g$,即:

$$g: R_f \rightarrow X$$,

对于每一个 $y \in R_f$,规定 $g(y) = x$,其中 $f(x) = y$,则 $g$ 为 $f$ 的逆映射,记作 $f^{-1}$.

例如:

$$f(x) = \sin x, (x \in [-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}])$$

的反函数为

$$f^{-1}(x) = \arcsin x, x \in [-1, 1]$,

$$f(x) = \exp x$$

的反函数为

$$f^{-1}(x) = \ln x$$

复合映射

若有两个映射

$$g: X \rightarrow Y_1, f: Y_2 \rightarrow Z, Y_1 \sub Y_2$$,

则由 $g$ 和 $f$ 可以定义处一个从 $X$ 到 $Z$ 的映射,称为映射 $g$ 和 $f$ 的复合映射,记作 $f \circ g$,即

$$f \circ g: X \to Z, (f \circ g)(x) = f[g(x)], x \in X$$.

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